Umkehrung, Inverse und Kontrapositiv einer bedingten Aussage

Was wir in dieser Lektion erreichen wollen, ist, mit den grundlegenden Regeln vertraut zu sein, wie man eine bedingte Aussage in ihre Umkehrung, Inverse und Kontrapositiv umwandelt oder umschreibt.

Zunächst müssen wir uns jedoch ansehen, was eine bedingte Aussage ist, denn sie ist die Grundlage oder der Vorläufer der drei verwandten Sätze, die wir in dieser Lektion besprechen werden.

Was ist eine bedingte Aussage?

Eine bedingte Aussage hat die Form „Wenn p, dann q“, wobei p die Hypothese und q die Schlussfolgerung ist. Eine bedingte Aussage wird auch als Implikation bezeichnet.

Gelegentlich stoßen Sie (in anderen Lehrbüchern oder Quellen) auf die Wörter „antecedent“ für die Hypothese und „consequent“ für die Schlussfolgerung. Keine Sorge, sie bedeuten dasselbe.

Außerdem wird die Aussage „Wenn p, dann q“ üblicherweise als die Aussage „p impliziert q“ geschrieben, was symbolisch ausgedrückt wird als {\color{blue}p} \{\color{red}q}.

verschiedene Möglichkeiten, die bedingte Aussage "p impliziert q""p implies q"

Gegeben eine bedingte Aussage, können wir verwandte Sätze bilden, nämlich: konvers, invers und kontrapositiv. Sie sind verwandte Sätze, weil sie alle auf der ursprünglichen bedingten Aussage beruhen.

Lassen Sie uns jeden einzelnen von ihnen durchgehen!

Die Umkehrung einer bedingten Aussage

Für eine gegebene bedingte Aussage {\color{blue}p} \zu {\color{red}q}, können wir die Umkehraussage schreiben, indem wir die Rollen der Hypothese und der Konklusion der ursprünglichen bedingten Aussage vertauschen oder vertauscht haben. Die Umkehrung ist also die Implikation {\color{red}q} \zu {\color{blue}p}.

Beachten Sie, dass die Hypothese {\color{blue}p} der bedingten Aussage zur Konklusion der Konversen wird. Umgekehrt wird die Konklusion der bedingten Aussage \large{\color{red}p} zur Hypothese der Konversen.

Die Umkehrung von p impliziert q ist q impliziert p

Die Umkehrung einer bedingten Aussage

Wenn man eine bedingte Aussage {\color{blue}p} \zu {\color{red}q}, wird die Umkehraussage gebildet, indem sowohl die Hypothese als auch die Konklusion der ursprünglichen bedingten Aussage negiert werden. Die Umkehrung ist also die Implikation ~\color{blue}p \zu ~\color{red}q.

Das Symbol ~\color{blue}p wird als „nicht p“ gelesen, während ~\color{red}q als „nicht q“ gelesen wird.

die Umkehrung von "p impliziert q" ist "nicht p impliziert nicht q""p implies q" is "not p implies not q"

Der Kontrapositiv einer bedingten Aussage

Angenommen, Sie haben die bedingte Aussage {\color{blue}p} \zu {\color{red}q}, so setzen wir die kontrapositive Aussage zusammen, indem wir die Hypothese und die Konklusion der Umkehrung derselben bedingten Aussage vertauschen.

In anderen Worten, um den Kontrapositiv zu finden, finden wir zuerst die Umkehrung der gegebenen bedingten Aussage und vertauschen dann die Rollen der Hypothese und der Konklusion. Daher ist der Kontrapositiv der bedingten Aussage {\color{blue}p} \zu {\color{red}q} die Implikation ~\color{red}q \zu ~\color{blue}p.

Der Kontrapositiv von "p impliziert q" ist "nicht q impliziert nicht p""p implies q" is "not q implies not p"

Wahrheitstabellen einer bedingten Aussage, und ihre Umkehrung, Inverse, und Kontrapositiv

Nachdem wir nun wissen, wie man die Umkehrung, die Inverse und den Kontrapositiv einer gegebenen bedingten Aussage symbolisch schreibt, ist es an der Zeit, einige interessante Fakten über diese logischen Aussagen anzugeben.

Um Zeit zu sparen, habe ich alle Wahrheitstabellen einer bedingten Aussage und deren Umkehrung, Inverse und Kontrapositive in einer einzigen Tabelle zusammengefasst.

Wahrheitstabellen der Implikation, der Konversen, der Inversen und des Kontrapositivs in einer einzigen Tabelle

Hier sind einige der wichtigen Erkenntnisse bezüglich der obigen Tabelle:

  • Die bedingte Aussage ist NICHT logisch äquivalent zu ihrer Umkehrung und Umkehrung.
  • Die bedingte Aussage ist logisch äquivalent zu ihrem Kontrapositiv. Somit ist {\color{blue}p} \zu {\color{red}q} \equiv ~\color{red}q \to ~\color{blue}p.
  • Die Umkehrung ist logisch äquivalent zu der Umkehrung der ursprünglichen bedingten Aussage. Daher ist {\color{red}q} \zu {\color{blue}p} \equiv ~\color{blue}p \to ~\color{red}q.

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