Tutoriais de Matemática Livre

Área sob uma curva


Figure 1. Aproximação da área sob uma curva pela soma das áreas de rectângulos.

Podemos aproximar a área sob a curva de x = x1 a x = xn, dividindo toda a área em rectângulos. Por exemplo, a área primeiro rectângulo (em preto) é dada por:

e depois adicionar as áreas destes rectângulos como se segue:
Se Δx na aproximação acima da expressão da área se tornar suficientemente pequena, a soma das áreas dos rectângulos aproximar-se-á do valor exacto da área sob a curva. Assim, definimos a área da seguinte forma:

\texto{Área exacta} = \lim_{\Delta x\to\0} \f(x_i=1}^{n-1} f(x_i) {delta x

O limite acima existe, tem a seguinte notação utilizando o conceito de integrais definitivos.

text{Área exacta} = {\i1}lim_{\i1}delta x\i} \f(x_i=1}^{n-1} f(x_i) {x_i} {x_1}^{x_2} f(x) dx}

Apresentamos agora vários exemplos sobre como utilizar integrais para encontrar a área sob uma curva. Também são incluídas soluções detalhadas para estes exemplos.

Exemplo 1

Encontrar a área da região delimitada por y = 2x, y = 0, x = 0 e x = 2.(ver figura abaixo).


Figure 2. Área sob um exemplo de curva 1.

h3>Solução ao Exemplo 1 São utilizados dois métodos para encontrar a área.
Método 1 Este problema pode ser resolvido utilizando a fórmula para a área de um triângulo.
área = (1/2) × base × altura = (1/2)× 2 × 4 = 4 unidade2
Método 2
Utemos agora integrais definitivos para encontrar a área definida acima. Se deixarmos f(x) = 2x , usando a fórmula da área dada pelo integral definido acima, nós

\text{Area} = \int_{0}^{2} (2x) dx = 2 \int_{0}^{2} x dx = _0^2 = 4 \; \texto ^2

O primeiro método é rápido mas funciona porque a área é a de um triângulo, no entanto o segundo método funciona para outras figuras que não triângulos.

Exemplo 2

Encontrar a área da região delimitada por y = 0.1 x3, y = 0, x = 2 e x = 4.

Solução ao Exemplo 2

br>Primeiro gráfico da função dada e identificamos a região cuja área deve ser encontrada.

br>
Figure 3. Área sob um exemplo de curva 2 , y = 0,1 x3, x = 2 , x = 4 e y = 0.

br>Utilizar os integrais definidos para encontrar a área da seguinte forma:.

\texto{Área} = \int_{2}^{4} (0,1 x^3) dx = 0,1 ^int_{2}^{4} x^3 dx = 0,1 ^ esquerda _2^4 \\\\= 0,1 = 6 ^;^2

Exemplo 3

Encontrar a área da região finita delimitada pela curva de y = 3(x – 1)(x – 3) e o eixo x.

Solução ao Exemplo 3

Note-se que os limites de integração não são dados e por isso é necessário um estudo detalhado do gráfico da função dada. O gráfico da função dada mostra que existem duas intercepção x que são fáceis de encontrar uma vez que a função dada está na forma factorizada: x = 1 e x = 2. A região finita é delimitada pela curva de y = 3(x – 1)(x – 3), x = 1, x = 3 e o eixo x como se mostra abaixo no gráfico.

br>
Figure 4. Área finita entre o exemplo de curva 3, as intercepções x e o eixo x (y = 0)

Utilizar os integrais definitivos para encontrar a área como se segue:

\int_{1}^{3} (3(x – 1)(x – 3)) dx = 3 \int_{1}^{3} (x^2 – 4x + 3) dx = 3 \ esquerda _1^3 \\\\= 3 \ esquerda _2^4 = – 4

Nota que o integral definitivo encontrado é negativo e isso porque y = 3(x – 1)(x – 3) é negativo entre os limites de integração x = 1 e x = 3. A área é o valor absoluto de -4 e é portanto 4 unidade2,

Exemplo 4

Encontrar a área da região finita delimitada pela curva de y = – 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4) e o eixo x.

Solução ao Exemplo 4

.
A função dada é um polinómio de grau 4 com coeficiente de chumbo negativo. Fazemos um gráfico da função dada e estudamo-la a fim de identificar a região finita delimitada pela curva e eixo x. O gráfico da função dada tem 3 x-intercepções: x = – 2, 1 e 4. A região finita é composta por três regiões. A primeira de x = – 2 a x = 0. A segunda região de x = 0 a x = 1 e a terceira de x = 1 a x = 4.


Figure 5. Área finita entre a curva e o eixo x no exemplo 4

Deixe-nos calcular os seguintes integrais definitivos tomando como limites as intercepções x.

I_1 = \int_{-2}^{0} (- 0.25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\

Expandir x (x + 2)(x – 1)(x – 4) e mover – 0,25 fora da operação de integração.

= -0.25 \int_{-2}^{0} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0,25 {-2}^0 = 3,4

I_2 = \int_{0}^{1} (- 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\= -0,25 \int_{0}^{1} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0,25 {0}^1 = -0,3625

>br>>

I_3 ==int_{1}^{4} (- 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\= -0,25 \int_{1}^{4} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0,25 {{1}^4 = 13,1625br>Nota que I2 é negativa porque entre x = 0 e x = 1 , y = – 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4) é negativa. Assim, precisamos de tomar o valor absoluto do integral definido de I2 para encontrar a área da região de x = 0 a x = 1. Assim, a área total é dada por:

Área = I1 + | I2 | + I3 = 3.4 + |-0.3625| + 13.1625 = 16.925 \; \text{unit}^2

Exemplo 5

Encontrar k para que a área da região finita delimitada pela curva de y = – x( x – k) e o eixo x seja igual a 4/3 unidades2.
h3>Solução ao Exemplo 5 .
O gráfico da função dada é uma parábola que se abre para baixo e tem duas intercepções de x: x = 0 e x = k. A região finita delimitada pela curva e pelo eixo x é limitada nas intercepções x, como mostra o gráfico abaixo.


Figure 6. Área finita entre a parábola e o eixo x no exemplo 5

A área entre a curva e y = 0 é dada por

\text{Area} = \int_{0}^{k} (- x( x – k)) dx \\\\

Expandir – x( x – k)

= \int_{-2}^{0} (- x^2 + kx ) dx = \ esquerda _{0}^k = -k^3 / 3 + k^3 / 2 = k^3 / 6

Como esperado, a expressão para a área inclui o parâmetro k que é calculado através da definição da área igual a 4/3. Daí

k^3 / 6 = 4 / 3

Resolver a equação acima para k obter k

k = 2

Exercícios

1) Encontrar a área da região finita delimitada por y = -(x+1)(x-3) e y = 0
2) Encontrar a área da região finita delimitada b y = sin(x), y = 0 , x = 0 e x = 2π abaixo.
3) Encontrar k positivo para que a área sob a curva de y = (x + 2), x = 0, x = k e o eixo x seja igual a 2
h3>Respostas a Exercícios acima

Deixe uma resposta

O seu endereço de email não será publicado. Campos obrigatórios marcados com *