Cálculo do comprimento do papel num rolo de papel higiénico

A suposição de que as camadas são todas cilíndricas é uma boa primeira aproximação.

A suposição de que as camadas formam uma espiral logarítmica não é de todo uma boa suposição, porque supõe que a espessura do papel em qualquer ponto é proporcional à sua distância do centro. Isto parece-me bastante absurdo.

A suposição alternativa é que as camadas formam uma espiral arquimedeana, o que é ligeiramente mais realista, uma vez que diz que o papel tem uma espessura uniforme do princípio ao fim. Mas esta suposição não é muito mais moralista do que a suposição de que todas as camadas são cilíndricas; de facto, de certa forma, é menos realista.

Aqui está como uma folha de espessura $h$ envolve realmente um cilindro.Primeiro, colamos um lado da folha (perto do fim da folha)à superfície do cilindro. Depois começamos a rodar o cilindro. À medida que o cilindro gira, ele puxa a folha esticada à sua volta. Perto do fim da primeira rotação completa do cilindro, o embrulho tem o seguinte aspecto:

enter descrição da imagem aqui

Notificar que a folha se encontra directamente na superfície do cilindro, ou seja, esta parte da folha embrulhada é cilíndrica.

Em algum ângulo de rotação, a extremidade colada da folha atinge a parte da folha que está a ser embrulhada. O ponto em que a folha é tangente ao cilindro nesse momento é o último ponto de contacto com o cilindro; a folha vai directamente desse ponto para o ponto de contacto com a extremidade colada, e depois continua a enrolar-se de forma cilíndrica à volta da primeira camada da folha embrulhada, desta forma:

enter descrição da imagem aqui

À medida que continuamos a rodar o cilindro, ele ocupa cada vez mais camadas da folha, cada camada consistindo de uma secção cilíndrica que vai mais à volta do cilindro, seguida de uma secção plana que une a sua camada à camada seguinte. Acabamos com algo como isto:

enter a descrição da imagem aqui

Notificação de que cortei a folha mesmo no ponto em que ela estava prestes a entrar noutra secção recta. Afirmo (sem prova) que isto produz um máximo local na proporção do comprimento da folha enrolada para a maior espessura de papel à volta do cilindro interior. O próximo máximo local (afirmo) ocorrerá no ponto correspondente do próximo enrolamento da folha.

A questão agora é qual é a espessura de cada camada. A superfície interna da porção cilíndrica de cada camada da folha embrulhada tem menos área que a superfície externa, mas a porção da folha original (não embrulhada) que foi enrolada no rolo para fazer esta camada tinha a mesma área em ambos os lados. Assim, ou a superfície interior estava de alguma forma comprimida, ou a superfície exterior estava esticada, ou ambas.

P>Parece-me que a hipótese mais realista é que tanto a compressão como o estiramento ocorreram. Na realidade, eu suponho que a superfície interna é comprimida mais do que a superfície externa é esticada, mas não sei qual seria a relação mais provável entre compressão e estiramento.É mais simples assumir que os dois efeitos são iguais.O comprimento da folha utilizada para fazer qualquer parte de uma camada do rollis é portanto igual ao comprimento da superfície a meio caminho entre a superfície interna e externa dessa camada.Por exemplo, para enrolar a primeira camada a meio do cilindro central do raio $r$, utilizamos um comprimento $\pi{ r + \frac h2\right)$ da folha de papel.

A razão pela qual isto simplifica particularmente os nossos cálculos é que o comprimento do papel utilizado em qualquer parte do rolo é simplesmente a área da secção transversal dessa parte do rolo dividida pela espessura do papel.

O rolo inteiro tem um raio interior $r$ e um raio exterior $R = r + nh$,onde $n$ é o número máximo de camadas em qualquer ponto ao redor do cilindro central. (Na figura, $n = 5$.)As linhas azuis são os lados de um triângulo direito cujos vértices são o centro do cilindro interno e os pontos onde a primeira camada toca pela última vez no cilindro interno e toca pela primeira vez na sua própria extremidade. Este triângulo tem hipotenusa $r + h$ e uma perna é $r$, portanto a outra perna (que é o comprimento da porção recta da folha)é $ \sqrt{(r + h)^2 – r^2} = \sqrt{(2r + h)h}.$Cada porção recta de cada camada é ligada à camada seguinte de papel enrolando quer o ponto de contacto com o ponto de colagem da folha (a primeira vez), quer em torno da forma feita enrolando a camada anterior em torno desta parte da camada abaixo; isto forma um segmento de cilindro entre as linhas vermelhas com centro no ponto de contacto com a extremidade colada.O ângulo entre as linhas vermelhas é o mesmo que o ângulo do ângulo do ângulo azul no centro do cilindro, nomeadamente$ \alpha = \arccos \frac{r}{r+h}.$

Agora vamos somar todas as partes do cilindro. Temos um cilindro quase completo com raio interior $r$ e raio exterior $R$,faltando apenas um segmento de ângulo $\alpha$. A área da secção transversal deste é $ A_1 = {\pi – {\pi – {\i} {\i} (R^2 – r^2).$ Temos um prisma rectangular cuja área transversal é o produto de dois dos seus lados,$ A_2 = (R – r – h) {(2r + h)h} {\i}.$Finalmente, temos um segmento de um cilindro de raio $R – r – h$(entre as linhas vermelhas) cuja área da secção transversal é $ A_3 = {2}frac{\an8}{2} (R – r – h)^2,$Adicionando isto e dividindo por $h$, o comprimento total da folha resulta a\begin{alinhamento} L &= \frac1h (A_1+A_2+A_3)\ &= \frac1h \frac1h \frac1h (R^2 – r^2) + \frac1h (R – r – h) \sqrt{(2r + h)h} + {\i1}frac{\i}{2h} (R – r – h)^2.^2.{alinhamento}

Para camadas de $n$ num rolo, usando a fórmula $R = r + nh$,temos $R – r = nh$, $R + r = 2r + nh$,$R^2 – r^2 = (R+r)(R-r) = (2r + nh)nh$,e $R – r – h = (n – 1)h$.O comprimento então é\begin{alinhamento} L &= {\pi – {\i} {2} {\i} {\i} (2r + nh)n + (n – 1) {(2r + h)h} {\i} +frac{\a h}{2} (n – 1)^2&= 2n\pi r + n^2\pi h + (n-1) {(2r + h)h} – esquerda( n(r + h) – \frac h2 {r+h} {r+h} {div id&= n (R + r) {r + r) \i + (n-1) {(2r + h)h} – esquerda( n(r + h) – {r+h) {r+h) {r+h} {r+h} {rccos {r\Fim{alinhamento}

Uma diferença notável entre esta estimativa e algumas outras (incluindo a original) é que suponho que pode haver no máximo $(R-r)/h$ camadas de papel sobre qualquer parte do cilindro central,e não $1 + (R-r)/h$ camadas.O comprimento total é o número de camadas vezes $2\pi$ vezes o raio médio, $(R + r)/2$, ajustado pelo montante que falta na secção do cilindro, que é apenas $n – 1$ folhas de espessura.

As coisas não são muito piores se assumirmos uma compressão interna de ratioof diferente, mas uniforme, para o estiramento externo, desde que mantenhamos a mesma espessura de papel independentemente da curvatura; só temos de fazer um ajuste aos raios interno e externo de qualquer segmento cilíndrico do rolo, que penso deixar como “um exercício para o leitor”.”Mas isto envolve uma mudança no volume da folha de papel. Se também mantivermos o volume constante, descobrimos que a folha fica mais espessa ou mais fina, dependendo da relação entre estiramento e compressão e da curvatura da folha.Com um volume constante, o comprimento do papel na parte principal da folha (em todo o lado onde obtemos o número total de camadas) é o mesmo que na estimativa acima, mas o comprimento total das partes da folha que ligam uma camada à seguinte pode mudar ligeiramente.

Atualização: Por pedido, aqui estão os resultados da aplicação da fórmula sobre os valores de entrada dados como exemplo na pergunta:$h=0,1$, $R=75$, e $r=25$ (deduzido de $R-r=b=50$), todos medidos em milímetros.

Desde $n = (R-r)/h$, temos $n = 500$. Para uma primeira aproximação do comprimento total do papel, vamos considerar apenas o primeiro termo da fórmula. Isto dá-nos $$L_1 = n (R + r) \pi = 500 \cdot 100 \pi Aprox. 157079,63267949,$ou cerca de $157$ metros, o mesmo que no exemplo da pergunta.Os dois restantes termos yield\begin{align}L – L_1 &= (n-1){(2r + h)h} – esquerda( n(r + h) – {frac h2 {r+h) {r+h} {r} \\&= 499sqrt{50.1 {cdot 0.1} – (500(25.1) – 0.05){25.1} {25.1}arccos}frac{25.1} \\&aprox -3.72246774.|end{align}Esta é uma correcção muito pequena, menos de $2.4|vezes 10^{-5} L_1$.Na realidade (ao contrário do meu modelo idealizado de papel higiénico de volume constante), esta “correcção” é certamente insignificante em comparação com as incertezas de estimar a espessura média do papel em cada camada de um rolo (para não mencionar qualquer não uniformidade na forma como é enrolado pela maquinaria de fabrico).

Podemos também comparar $\lvert L – L_1 \rvert$ com a quantidade de papel que estaria em falta se o papel no segmento “plano” do rolo estivesse em vez de $n – 1$ camadas seguindo a curva do resto do papel. O ângulo $\alpha$ é cerca de $0.089294$ radianos (cerca de $5,1162$ graus),portanto se a camada em falta fosse a camada mais interior, o seu comprimento seria de $25,05 $alfa, e se fosse a camada mais exterior, seria de $74,95 $alfa, aproximadamente 6,69 $ (em milímetros).

Apenas por diversão, também tentei expandir $L – L_1$ como uma série de poder em torno de $h = 0$ (com uma pequena ajuda da Wolfram Alpha).(Para fazer $L – L_1$ uma função de uma variável $h$ com constantes $R$ e $r$,fazer a substituição $n = (R – r)/h$.)Isto acaba por ser uma série de potências de $\sqrt h$ cujo termo principal é $-$frac{(R + 2r)\sqrt2}{3\sqrt r}{3\sqrt r} \sqrt h.$Plugging nos valores do exemplo, este valor avalia-se em aproximadamente $-3,7267799625$.Se se quisesse realmente que o comprimento do rolo de papel higiénico idealizado tivesse o milímetro mais antigo, mas se se pudesse tolerar um erro de alguns $\mu³³³m³m³(para dimensões típicas de um rolo de papel higiénico),uma aproximação adequada seria $$L Aproximadamente $Frac{\pi (R^2 – r^2)}{h} – ^frac{(R + 2r)^sqrt2}{3sqrt r} \qrt h.$$

Deixe uma resposta

O seu endereço de email não será publicado. Campos obrigatórios marcados com *