Darmowe poradniki matematyczne

Area under a curve



Rysunek 1. Przybliżenie pola powierzchni pod krzywą przez sumę pól powierzchni prostokątów.

Pole powierzchni pod krzywą od x = x1 do x = xn możemy przybliżyć dzieląc cały obszar na prostokąty. Na przykład pole powierzchni pierwszego prostokąta (w kolorze czarnym) jest dane przez:

a następnie dodajemy pola powierzchni tych prostokątów w następujący sposób:
Jeżeli Δx w powyższym przybliżeniu wyrażenia na obszar stanie się dostatecznie małe, to suma pól powierzchni prostokątów zbliży się do dokładnej wartości pola powierzchni pod krzywą. Stąd definiujemy pole powierzchni w następujący sposób:

text{Dokładne pole powierzchni} = Δlim_{Delta x} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \Delta x

Powyższa granica istnieje, ma ona następującą notację wykorzystującą pojęcie całek definitywnych.

text{Obszar dokładny} = ≥lim_{Delta x
} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \Delta x = \color{red}{\int_{x_1}^{x_2} f(x) dx}

Przedstawimy teraz kilka przykładów, jak używać całek do znajdowania pola powierzchni pod krzywą. Zamieszczono również szczegółowe rozwiązania tych przykładów.

Przykład 1

Znajdź pole powierzchni obszaru ograniczonego przez y = 2x, y = 0, x = 0 i x = 2.(patrz rysunek poniżej).



Rysunek 2. Pole powierzchni pod krzywą przykład 1.

Rozwiązanie przykładu 1

Do znalezienia pola powierzchni stosuje się dwie metody.
Metoda 1 Problem ten można rozwiązać korzystając ze wzoru na pole trójkąta.
obszar = (1/2) × podstawa × wysokość = (1/2)× 2 × 4 = 4 jednostki2
Metoda 2
Zastosujemy teraz całki definitywne, aby znaleźć pole zdefiniowane powyżej. Jeśli pozwolimy f(x) = 2x , to korzystając ze wzoru na pole powierzchni danego przez powyższą całkę definitywną, otrzymamy

\text{Area} = \int_{0}^{2} (2x) dx = 2 \int_{0}^{2} x dx = _0^2 = 4 \; \text{unit}^2

Pierwsza metoda jest szybka, ale działa, ponieważ pole powierzchni jest polem trójkąta, jednak druga metoda działa dla figur innych niż trójkąty.

Przykład 2

Znajdź pole powierzchni regionu ograniczonego przez y = 0.1 x3, y = 0, x = 2 i x = 4.

Rozwiązanie przykładu 2

W pierwszej kolejności sporządzamy wykres danej funkcji i określamy region, którego pole należy znaleźć.



Rysunek 3. Pole powierzchni pod krzywą przykład 2 , y = 0,1 x3, x = 2 , x = 4 i y = 0.

Użyj całek definitywnych, aby znaleźć pole w następujący sposób:.

ext{Area} = \int_{2}^{4} (0,1 x^3) dx = 0,1 \int_{2}^{4} x^3 dx = 0,1 \\\ \\\\= 0,1 = 6 \;\tekst{jednostka}^2

Przykład 3

Znaleźć pole obszaru skończonego ograniczonego krzywą y = 3(x – 1)(x – 3) i osią x.

Rozwiązanie przykładu 3

Zauważ, że granice całkowania nie są dane, dlatego konieczne jest szczegółowe przestudiowanie wykresu danej funkcji. Z wykresu danej funkcji wynika, że istnieją dwa punkty przecięcia x, które łatwo znaleźć, ponieważ dana funkcja jest w postaci faktoryzowanej: x = 1 oraz x = 2. Skończony obszar jest ograniczony krzywą y = 3(x – 1)(x – 3), x = 1, x = 3 oraz osią x, jak pokazano poniżej na wykresie.



Rysunek 4. Pole powierzchni skończonej między krzywą przykład 3, punktami przecięcia x i osią x (y = 0)

Użyj całek definitywnych, aby znaleźć to pole w następujący sposób:

int_{1}^{3} (3(x – 1)(x – 3)) dx = 3 int_{1}^{3} (x^2 – 4x + 3) dx = 3 \left _1^3 \\\\= 3 \left _2^4 = – 4

Zauważ, że znaleziona całka skończona jest ujemna, a to dlatego, że y = 3(x – 1)(x – 3) jest ujemna pomiędzy granicami całkowania x = 1 i x = 3. Dziedzina ta jest wartością bezwzględną liczby -4, a zatem wynosi 4 jednostki2.

Przykład 4

Znajdź pole obszaru skończonego ograniczonego krzywą y = – 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4) i osią x.

Rozwiązanie przykładu 4

.
Dana funkcja jest wielomianem stopnia 4 o ujemnym współczynniku wiodącym. Wykreślamy wykres danej funkcji i badamy go w celu określenia skończonego obszaru ograniczonego krzywą i osią x. Wykres danej funkcji ma 3 punkty x: x = – 2, 1 i 4. Obszar skończony składa się z trzech obszarów. Pierwszy z nich od x = – 2 do x = 0. Drugi region od x = 0 do x = 1 i trzeci od x = 1 do x = 4.



Rysunek 5. Skończony obszar między krzywą a osią x w przykładzie 4

Obliczmy następujące całki definitywne przyjmując jako granice punkty przecięcia x.

I_1 = \int_{-2}^{0} (- 0.25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\

Rozszerz x (x + 2)(x – 1)(x – 4) i przenieś – 0,25 poza operację całkowania.

= -0.25 \int_{-2}^{0} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0,25 \u00 _{-2}^0 = 3,4

I_2 = \u00_{0}^{1} (- 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\= -0,25 \u00_{0}^{1} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0,25 \u00_{0}^1 = -0,3625

I_3 =int_{1}^{4} (- 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\= -0,25 \u00_{1}^{4} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0,25 \u00_{1}^4 = 13,1625

Zauważ, że I2 jest ujemne, ponieważ między x = 0 a x = 1 , y = – 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4) jest ujemne. Stąd musimy wziąć wartość bezwzględną całki definitywnej z I2, aby znaleźć pole powierzchni obszaru od x = 0 do x = 1. Stąd całkowite pole powierzchni jest dane przez:

Pole powierzchni = I1 + | I2 | + I3 = 3.4 + |-0,3625| + 13,1625 = 16,925 ^2

Przykład 5

Znajdź takie k, aby pole obszaru skończonego ograniczonego krzywą y = – x( x – k) i osią x było równe 4/3 jednostek2.

Rozwiązanie przykładu 5

.
Wykresem danej funkcji jest parabola, która otwiera się w dół i ma dwa punkty przecięcia x: x = 0 i x = k. Obszar skończony ograniczony przez krzywą i oś x jest ograniczony punktami przecięcia x, jak pokazano na poniższym wykresie.



Rysunek 6. Skończony obszar między parabolą a osią x w przykładzie 5

Powierzchnia między krzywą a y = 0 dana jest przez

ext{Area} = int_{0}^{k} (- x( x – k)) dx \\\\

Rozszerzenie – x( x – k)

= \int_{-2}^{0} (- x^2 + kx ) dx = \u200 _{0}^k = -k^3 / 3 + k^3 / 2 = k^3 / 6

Jak można się spodziewać, wyrażenie na obszar zawiera parametr k, który obliczamy, ustalając obszar równy 4/3. Stąd

k^3 / 6 = 4 / 3

Rozwiąż powyższe równanie dla k, aby otrzymać

k = 2

Ćwiczenia

1) Znajdź pole obszaru skończonego regionu zamkniętego przez y = – (x+1(x-3).(x+1)(x-3) oraz y = 0
2) Znajdź pole obszaru ograniczonego przez y = sin(x), y = 0 , x = 0 i x = 2π poniżej.
3) Znajdź k dodatnie takie, że pole powierzchni pod krzywą y = (x + 2), x = 0, x = k i osią x jest równe 2

Odpowiedzi do powyższych ćwiczeń

.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *