Calculating the length of the paper on a toilet paper roll

Założenie, że wszystkie warstwy są cylindryczne jest dobrym pierwszym przybliżeniem.

Założenie, że warstwy tworzą spiralę logarytmiczną nie jest dobrym założeniem, ponieważ zakłada, że grubość papieru w każdym punkcie jest proporcjonalna do jego odległości od środka. Wydaje mi się to dość absurdalne.

Alternatywnym założeniem jest to, że warstwy tworzą spiralę Archimedesa. Jest to nieco bardziej realistyczne, ponieważ mówi, że papier ma jednakową grubość od początku do końca. Ale to założenie nie jest o wiele bardziej realistyczne niż założenie, że wszystkie warstwy są cylindryczne; w rzeczywistości, pod pewnymi względami jest mniej realistyczne.

Otoczymy tutaj, jak arkusz o grubości $h$ rzeczywiście owija się wokół cylindra.Najpierw przyklejamy jedną stronę arkusza (blisko końca arkusza) do powierzchni cylindra. Obracając się, walec wciąga wyciągniętą kartkę wokół siebie. Pod koniec pierwszego pełnego obrotu walca owinięcie wygląda następująco:

enter image description here

Zauważ, że kartka leży bezpośrednio na powierzchni walca, czyli ta część owiniętej kartki jest cylindryczna.

Przy pewnym kącie obrotu sklejony koniec arkusza uderza w część arkusza, która jest zawijana. Punkt, w którym arkusz jest w tym momencie styczny do walca, jest ostatnim punktem styczności z walcem; arkusz biegnie prosto od tego punktu do punktu styczności z klejonym końcem, a następnie zawija się w kształt walca wokół pierwszej warstwy zawiniętego arkusza, jak poniżej:

enter image description here

Jak kontynuujemy obracanie cylindra, zajmuje on coraz więcej warstw arkusza, każda warstwa składa się z cylindrycznej części idącej przez większość drogi wokół rolki, a następnie płaskiej części, która łączy tę warstwę z następną. Kończymy z czymś takim:

enter image description here

Zauważ, że przeciąłem arkusz w miejscu, gdzie miał wejść w kolejny prosty przekrój. Twierdzę (bez dowodu), że to wytwarza lokalne maksimum w stosunku długości zawiniętego arkusza papieru do największej grubości papieru wokół wewnętrznego cylindra. Kolejne lokalne maksimum (twierdzę) wystąpi w odpowiednim punkcie następnego zawinięcia arkusza.

Teraz pytanie brzmi, jaka jest grubość każdej warstwy. Wewnętrzna powierzchnia cylindrycznej części każdej warstwy owiniętego arkusza ma mniejszy obszar niż powierzchnia zewnętrzna, ale część oryginalnego (nie owiniętego) arkusza, który został nawinięty na rolkę, aby zrobić tę warstwę, miała równy obszar po obu stronach. Więc albo wewnętrzna powierzchnia została w jakiś sposób ściśnięta, albo zewnętrzna powierzchnia została rozciągnięta, albo jedno i drugie.

Myślę, że najbardziej realistycznym założeniem jest to, że nastąpiło zarówno ściśnięcie, jak i rozciągnięcie. W rzeczywistości zgadywałbym, że wewnętrzna powierzchnia jest bardziej ściśnięta niż zewnętrzna rozciągnięta, ale nie wiem, jaki byłby najbardziej prawdopodobny stosunek ściśnięcia do rozciągnięcia. Prościej jest założyć, że oba efekty są równe. Długość arkusza użytego do wykonania jakiejkolwiek części jednej warstwy zwoju jest zatem równa długości powierzchni w połowie drogi między wewnętrzną a zewnętrzną powierzchnią tej warstwy.Na przykład, aby owinąć pierwszą warstwę w połowie drogi wokół centralnego cylindra o promieniu $r$, używamy długości arkusza papieru równej $p>

Powodem, który szczególnie upraszcza nasze obliczenia, jest to, że długość papieru używanego w dowolnej części zwoju jest po prostu polem powierzchni przekroju poprzecznego tej części zwoju podzielonym przez grubość papieru.

Cały walec ma promień wewnętrzny $r$ i promień zewnętrzny $R = r + nh$, gdzie $n$ jest maksymalną liczbą warstw w dowolnym punkcie wokół centralnego walca. Niebieskie linie to boki trójkąta prostokątnego, którego wierzchołkami są środek walca wewnętrznego i punkty, w których pierwsza warstwa po raz ostatni dotyka walca wewnętrznego i po raz pierwszy dotyka swojego końca.Każda prosta część każdej warstwy jest połączona z następną warstwą papieru przez owinięcie albo wokół punktu styku z klejonym końcem arkusza (za pierwszym razem), albo wokół kształtu powstałego przez owinięcie poprzedniej warstwy wokół tej części warstwy poniżej; tworzy to odcinek walca między czerwonymi liniami o środku w punkcie styku z klejonym końcem.Kąt między czerwonymi liniami jest taki sam, jak kąt niebieskiego trójkąta w środku walca, czyli $ alfa = ∗frac{r}{r+h}.$

Teraz zsumujmy wszystkie części rolki. Mamy prawie zupełny walec pusty o promieniu wewnętrznym $r$ i zewnętrznym $R$, któremu brakuje tylko odcinka o kącie $alfa$. Jego pole przekroju wynosi $ A_1 = ∑lewa(∑pi – ∑frac{alpha}{2} ∑prawa) (R^2 – r^2).$Mamy graniastosłup prostokątny, którego pole przekroju jest iloczynem dwóch jego boków,$ A_2 = (R – r – h) ∑sqrt{(2r + h)h}.$Na koniec mamy odcinek walca o promieniu $R – r – h$ (pomiędzy czerwonymi liniami), którego pole przekroju wynosi$ A_3 = \frac{alpha}{2} (R – r – h)^2.$Dodając to do siebie i dzieląc przez $h$, całkowita długość arkusza wynosi $begin{align}. L &= \frac1h (A_1+A_2+A_3)\ &= \frac1h \left(\pi – \frac{alpha}{2} \right) (R^2 – r^2) + \frac1h (R – r – h) \sqrt{(2r + h)h} + \frac{alpha}{2h} (R – r – h)^2.\end{align}

Dla $n$ warstw na rolce, korzystając ze wzoru $R = r + nh$, mamy $R – r = nh$, $R + r = 2r + nh$,$R^2 – r^2 = (R+r)(R-r) = (2r + nh)nh$, oraz $R – r – h = (n – 1)h$.Długość wynosi więc $begin{align} L &= \left(\pi – \frac{alpha}{2} \right) (2r + nh)n + (n – 1) \sqrt{(2r + h)h} + \frac{alpha h}{2} (n – 1)^2} &= 2n\pi r + n^2\pi h + (n-1) \sqrt{(2r + h)h} – \left( n(r + h) – \frac h2 \) &= n (R + r) \pi + (n-1) \sqrt{(2r + h)h} – \left( n(r + h) – \frac h2 \right) \arccos \frac{r}{r+h}.\end{align}

Jedną zauważalną różnicą między tym oszacowaniem a innymi (w tym oryginalnym) jest to, że zakładam, iż na dowolnej części centralnego cylindra może być co najwyżej $(R-r)/h$ warstw papieru, a nie $1 + (R-r)/h$ warstw.Całkowita długość to liczba warstw razy $2pi$ razy średni promień, $(R + r)/2$, skorygowana o ilość brakującą w tej części walca, która ma tylko $n – 1$ grubości arkuszy.

Rzeczy nie są dużo gorsze, jeśli przyjmiemy inny, ale jednakowy stosunek wewnętrznego ściskania do zewnętrznego rozciągania, pod warunkiem, że zachowamy tę samą grubość papieru niezależnie od krzywizny; musimy tylko dokonać korekty wewnętrznego i zewnętrznego promienia każdego cylindrycznego segmentu zwoju, co chyba pozostawię jako „ćwiczenie dla czytelnika”.”Jeśli również utrzymamy stałą objętość, okaże się, że arkusz staje się grubszy lub cieńszy w zależności od stosunku rozciągania do ściskania i krzywizny arkusza.Przy stałej objętości, długość papieru w głównej części rolki (wszędzie tam, gdzie otrzymujemy pełną liczbę warstw) jest taka sama jak w powyższym oszacowaniu, ale całkowita długość części arkusza, które łączą jedną warstwę z następną może się nieco zmienić.

Uaktualnienie: Na prośbę, oto wyniki zastosowania powyższego wzoru do wartości wejściowych podanych jako przykład w pytaniu: $h=0,1$, $R=75$ i $r=25$ (wywnioskowane z $R-r=b=50$), wszystkie mierzone w milimetrach.

Ponieważ $n = (R-r)/h$, mamy $n = 500$. Dla pierwszego przybliżenia całkowitej długości papieru, rozważmy tylko pierwszy warunek wzoru. Daje nam to długość papieru $L_1 = n (R + r) \i = 500 \i = 100 \i = około 157079,63267949,$ czyli około 157$ metrów, tak samo jak w przykładzie w pytaniu.Pozostałe dwa wyrażenia dają &= (n-1)\sqrt{(2r + h)h} – \left( n(r + h) – \frac h2 \right) \arccos \frac{r}{r+h} \\&= 499 \sqrt{50.1 \ot 0.1} – (500(25.1) – 0.05)\u200}{25.1} \\est to bardzo mała poprawka, mniejsza niż 2,4 razy 10^{-5}$. W rzeczywistości (w przeciwieństwie do mojego wyidealizowanego modelu papieru toaletowego o stałej grubości i stałej objętości), ta „poprawka” jest z pewnością nieistotna w porównaniu z niepewnością oszacowania średniej grubości papieru w każdej warstwie rolki (nie wspominając o jakiejkolwiek niejednorodności w sposobie jego zwijania przez maszyny produkcyjne).

Możemy również porównać $lvert L – L_1 \rvert$ do ilości papieru, którego by brakowało, gdyby papier w „płaskim” segmencie rolki był zamiast $n – 1$ warstwami podążającymi za krzywizną reszty papieru. Kąt $alpha$ wynosi około $0.089294$ radianów (około 5,1162$ stopni), więc jeśli brakująca warstwa byłaby najbardziej wewnętrzną warstwą, jej długość wynosiłaby 25,05$ (w milimetrach), a jeśli byłaby najbardziej zewnętrzną warstwą, jej długość wynosiłaby 74,95$ (w milimetrach).

Just for amusement, próbowałem również rozszerzyć $L – L_1$ jako szereg potęgowy wokół $h = 0$ (z niewielką pomocą Wolfram Alpha).(Aby uczynić $L – L_1$ funkcją jednej zmiennej $h$ ze stałymi $R$ i $r$, wykonaj podstawienie $n = (R – r)/h$.)Okazuje się, że jest to szereg potęgowy potęgi $sqrt h$, którego wiodącym członem jest $-$frac{(R + 2r)\sqrt2}{3\sqrt r}. \Wstawiając wartości z przykładu, otrzymujemy w przybliżeniu $-3,7267799625$.Jeśli naprawdę chcesz uzyskać długość wyidealizowanej rolki papieru toaletowego z dokładnością do jednego milimetra, ale możesz tolerować błąd rzędu kilku $mathrm m$ (dla typowych wymiarów rolki papieru toaletowego), odpowiednim przybliżeniem byłoby $L \approx \frac{pi (R^2 – r^2)}{h} – \frac{(R + 2r)\sqrt2}{3\sqrt r}. \sqrt h.$

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *