Gratis wiskunde tutorials

Area under a curve



Figuur 1. Benadering van de oppervlakte onder een kromme door de som van de oppervlakten van rechthoeken.

We kunnen de oppervlakte onder de kromme van x = x1 tot x = xn benaderen door de hele oppervlakte in rechthoeken te verdelen. Bijvoorbeeld de oppervlakte eerste rechthoek (in zwart) wordt gegeven door:

en dan tellen we de oppervlakten van deze rechthoeken als volgt op:
Als Δx in de bovenstaande benadering van de oppervlakte-uitdrukking klein genoeg wordt, zal de som van de oppervlakten van de rechthoeken de exacte waarde van de oppervlakte onder de kromme benaderen. Vandaar dat we de oppervlakte als volgt definiëren:

{Exacte Oppervlakte} = \lim_{\Delta xto\0} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \Delta x

De bovenstaande limiet bestaat, het heeft de volgende notatie met behulp van het concept van bepaalde integralen.

{Exacte Oppervlakte} = \lim_{\Delta xto\0} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \Delta x = \color{red}{\int_{x_1}^{x_2} f(x) dx}

We geven nu verschillende voorbeelden over hoe je integralen kunt gebruiken om de oppervlakte onder een kromme te vinden. Gedetailleerde oplossingen voor deze voorbeelden zijn ook bijgevoegd.

Voorbeeld 1

Bereken de oppervlakte van het gebied begrensd door y = 2x, y = 0, x = 0 en x = 2.(zie figuur hieronder).



Figuur 2. Oppervlakte onder een kromme voorbeeld 1.

Oplossing voor voorbeeld 1

Er worden twee methoden gebruikt om de oppervlakte te vinden.
Methode 1 Dit probleem kan worden opgelost met de formule voor de oppervlakte van een driehoek.
oppervlakte = (1/2) × basis × hoogte = (1/2)× 2 × 4 = 4 eenheid2
Methode 2
We zullen nu bepaalde integralen gebruiken om de hierboven gedefinieerde oppervlakte te vinden. Als we f(x) = 2x , met behulp van de formule van de oppervlakte gegeven door de bepaalde integraal hierboven, we

\text{Area} = int_{0}^{2} (2x) dx = 2 \int_{0}^{2} x dx = _0^2 = 4

De eerste methode is snel maar werkt omdat de oppervlakte die van een driehoek is, de tweede methode werkt echter ook voor andere figuren dan driehoeken.

Voorbeeld 2

Bereken de oppervlakte van het gebied begrensd door y = 0.1 x3, y = 0, x = 2 en x = 4.

Oplossing van voorbeeld 2

We maken eerst een grafiek van de gegeven functie en bepalen het gebied waarvan we de oppervlakte moeten vinden.



Figuur 3. Oppervlakte onder een kromme voorbeeld 2 , y = 0,1 x3, x = 2 , x = 4 en y = 0.

Gebruik de bepaalde integralen om de oppervlakte als volgt te vinden:.

Tekst{Area} = \int_{2}^{4} (0,1 x^3) dx = 0,1 \int_{2}^{4} x^3 dx = 0,1 \left _2^4 \\\\= 0,1 = 6 \;\text{eenheid}^2

Voorbeeld 3

Bereken de oppervlakte van het eindige gebied begrensd door de kromme van y = 3(x – 1)(x – 3) en de x-as.

Oplossing van voorbeeld 3

Merk op dat de grenzen van de integratie niet gegeven zijn en dat daarom een gedetailleerde studie van de grafiek van de gegeven functie noodzakelijk is. De grafiek van de gegeven functie laat zien dat er twee x-afsnijpunten zijn die gemakkelijk te vinden zijn omdat de gegeven functie in gefactoriseerde vorm is: x = 1 en x = 2. Het eindige gebied wordt begrensd door de kromme van y = 3(x – 1)(x – 3), x = 1, x = 3 en de x-as zoals hieronder in de grafiek te zien is.


Figuur 4. Eindige oppervlakte tussen de kromme voorbeeld 3, de x-intercepts en de x-as (y = 0)

Gebruik de bepaalde integralen om de oppervlakte als volgt te vinden:

int_{1}^{3} (3(x – 1)(x – 3)) dx = 3 int_{1}^{3} (x^2 – 4x + 3) dx = 3 ^1^3 \\\\= 3 ^2^4 = – 4

Merk op dat de gevonden bepaalde integraal negatief is en dat komt omdat y = 3(x – 1)(x – 3) negatief is tussen de grenzen van integratie x = 1 en x = 3. De oppervlakte is de absolute waarde van -4 en is dus 4 eenheid2.

Voorbeeld 4

Ontdek de oppervlakte van het eindige gebied begrensd door de kromme van y = – 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4) en de x-as.

Oplossing van voorbeeld 4

.
De gegeven functie is een polynoom van graad 4 met negatieve voorloopcoëfficiënt. We maken een grafiek van de gegeven functie en bestuderen deze om het eindige gebied te bepalen dat begrensd wordt door de kromme en de x-as. De grafiek van de gegeven functie heeft 3 x-uiteinden: x = – 2, 1 en 4. Het eindige gebied is samengesteld uit drie gebieden. Het eerste van x = – 2 tot x = 0. Het tweede gebied van x = 0 tot x = 1 en het derde van x = 1 tot x = 4.



Figuur 5. Eindige oppervlakte tussen de kromme en de x-as in voorbeeld 4

Laten we de volgende bepaalde integralen berekenen met als grenzen de x-intercepts.

I_1 = \int_{-2}^{0} (- 0.25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\

Breid x (x + 2)(x – 1)(x – 4) uit en verplaats – 0,25 buiten de integratieoperatie.

= -0.25 int_{-2}^{0} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0,25 int_{0}^{0 = 3,4

I_2 = int_{0}^{1} (- 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\= -0,25 int_{0}^{1} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0,25 \left _{0}^1 = -0,3625

I_3 = {int_{1}^{4} (- 0.25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\= -0.25 \int_{1}^{4} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0,25 int_{1}^4 = 13,1625

Noteer dat I2 negatief is omdat tussen x = 0 en x = 1 , y = – 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4) negatief is. We moeten dus de absolute waarde van de bepaalde integraal van I2 nemen om de oppervlakte te vinden van het gebied van x = 0 tot x = 1. De totale oppervlakte wordt dus gegeven door:

Oppervlakte = I1 + | I2 | + I3 = 3.4 + |-0.3625| + 13.1625 = 16.925 \; \text{eenheid}^2

Voorbeeld 5

Vind k zo dat de oppervlakte van het eindige gebied begrensd door de kromme van y = – x( x – k) en de x-as gelijk is aan 4/3 eenheden2.

Oplossing van voorbeeld 5

.
De grafiek van de gegeven functie is een parabool die naar beneden opent en twee x-uiteinden heeft: x = 0 en x = k. Het eindige gebied begrensd door de kromme en de x-as is begrensd bij de x-intercepts zoals in onderstaande grafiek is aangegeven.



Figuur 6. Eindige oppervlakte tussen parabool en x-as in voorbeeld 5

De oppervlakte tussen de kromme en y = 0 wordt gegeven door

:{text{Area} = \int_{0}^{k} (- x( x – k)) dx \\\\

Vouw – x( x – k)

= \int_{-2}^{0} (- x^2 + kx ) dx = \left _{0}^k = -k^3 / 3 + k^3 / 2 = k^3 / 6

Zoals verwacht bevat de uitdrukking voor het gebied de parameter k, die wordt berekend door het gebied gelijk te stellen aan 4/3. Vandaar

k^3 / 6 = 4 / 3

Los de bovenstaande vergelijking op voor k om

k = 2

Oefeningen

1) Bereken de oppervlakte van het eindige gebied ingesloten door y = -(x+1)(x-3) en y = 0
2) Bereken de oppervlakte van het eindige gebied begrensd door y = sin(x), y = 0 , x = 0 en x = 2π hieronder.
3) Bereken k positief zodat de oppervlakte onder de kromme van y = (x + 2), x = 0, x = k en de x-as gelijk is aan 2

Antwoorden op bovenstaande Oefeningen

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *