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Fläche unter einer Kurve



Abbildung 1. Approximation der Fläche unter einer Kurve durch die Summe der Flächen von Rechtecken.

Wir können die Fläche unter der Kurve von x = x1 bis x = xn approximieren, indem wir die gesamte Fläche in Rechtecke aufteilen. Zum Beispiel ist die Fläche des ersten Rechtecks (in schwarz) gegeben durch:

und addieren dann die Flächen dieser Rechtecke wie folgt:
Wenn Δx in der obigen Näherung des Flächenausdrucks klein genug wird, nähert sich die Summe der Flächen der Rechtecke dem genauen Wert der Fläche unter der Kurve. Daher definieren wir die Fläche wie folgt:

\text{Exakte Fläche} = \lim_{\Delta x\to\0} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \Delta x

Der obige Grenzwert existiert, er hat die folgende Notation unter Verwendung des Konzepts der bestimmten Integrale.

\text{Exakte Fläche} = \lim_{\Delta x\to\0} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \Delta x = \color{red}{\int_{x_1}^{x_2} f(x) dx}

Wir stellen nun einige Beispiele vor, wie man Integrale verwendet, um die Fläche unter einer Kurve zu finden. Detaillierte Lösungen zu diesen Beispielen sind ebenfalls enthalten.

Beispiel 1

Finden Sie die Fläche des Bereichs, der durch y = 2x, y = 0, x = 0 und x = 2 begrenzt wird.(siehe Abbildung unten).



Abbildung 2. Fläche unter einer Kurve Beispiel 1.

Lösung zu Beispiel 1

Zur Ermittlung der Fläche werden zwei Methoden verwendet.
Methode 1 Diese Aufgabe kann mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks gelöst werden.
Flächeninhalt = (1/2) × Basis × Höhe = (1/2)× 2 × 4 = 4 Einheit2
Methode 2
Wir wollen nun definite Integrale verwenden, um den oben definierten Flächeninhalt zu finden. Wenn wir f(x) = 2x lassen, erhalten wir unter Verwendung der Formel für den Flächeninhalt, die durch das obige definite Integral gegeben ist,

\text{Area} = \int_{0}^{2} (2x) dx = 2 \int_{0}^{2} x dx = _0^2 = 4 \; \text{unit}^2

Die erste Methode ist schnell, funktioniert aber, weil der Flächeninhalt der eines Dreiecks ist, die zweite Methode funktioniert jedoch auch für andere Figuren als Dreiecke.

Beispiel 2

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das durch y = 0 begrenzt wird.1 x3, y = 0, x = 2 und x = 4.

Lösung zu Beispiel 2

Wir stellen zunächst die gegebene Funktion grafisch dar und bestimmen den Bereich, dessen Fläche gefunden werden soll.



Abbildung 3. Fläche unter einer Kurve Beispiel 2 , y = 0,1 x3, x = 2 , x = 4 und y = 0.

Benutzen Sie die bestimmten Integrale, um die Fläche wie folgt zu finden:.

\text{Area} = \int_{2}^{4} (0,1 x^3) dx = 0,1 \int_{2}^{4} x^3 dx = 0,1 \left _2^4 \\\\= 0,1 = 6 \;\text{unit}^2

Beispiel 3

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des endlichen Gebiets, das durch die Kurve von y = 3(x – 1)(x – 3) und die x-Achse begrenzt wird.

Lösung zu Beispiel 3

Beachten Sie, dass die Grenzen der Integration nicht gegeben sind und daher eine genaue Untersuchung des Graphen der gegebenen Funktion notwendig ist. Der Graph der gegebenen Funktion zeigt, dass es zwei x-Achsenabschnitte gibt, die leicht zu finden sind, da die gegebene Funktion in faktorisierter Form vorliegt: x = 1 und x = 2. Der endliche Bereich wird durch die Kurve von y = 3(x – 1)(x – 3), x = 1, x = 3 und die x-Achse begrenzt, wie unten im Graphen gezeigt.



Figur 4. Endliche Fläche zwischen der Kurve Beispiel 3, den x-Achsenabschnitten und der x-Achse (y = 0)

Benutzen Sie die definitiven Integrale, um die Fläche wie folgt zu finden:

\int_{1}^{3} (3(x – 1)(x – 3)) dx = 3 \int_{1}^{3} (x^2 – 4x + 3) dx = 3 \int_{1}^{3} \\\\= 3 \int_{2}^{4} = – 4

Beachten Sie, dass das gefundene definite Integral negativ ist, und zwar deshalb, weil y = 3(x – 1)(x – 3) zwischen den Integrationsgrenzen x = 1 und x = 3 negativ ist. Der Flächeninhalt ist der Absolutwert von -4 und beträgt daher 4 Einheit2.

Beispiel 4

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des endlichen Bereichs, der durch die Kurve von y = – 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4) und die x-Achse begrenzt wird.

Lösung zu Beispiel 4

.
Die gegebene Funktion ist ein Polynom vom Grad 4 mit negativem Leitkoeffizienten. Wir zeichnen den Graphen der gegebenen Funktion und untersuchen ihn, um den endlichen Bereich zu identifizieren, der durch die Kurve und die x-Achse begrenzt wird. Der Graph der gegebenen Funktion hat 3 x-Achsenabschnitte: x = – 2, 1 und 4. Der endliche Bereich setzt sich aus drei Regionen zusammen. Die erste von x = – 2 bis x = 0. Die zweite Region von x = 0 bis x = 1 und die dritte von x = 1 bis x = 4.



Figur 5. Endliche Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse in Beispiel 4

Berechnen wir die folgenden definitiven Integrale, indem wir die x-Achsen als Grenzen nehmen.

I_1 = \int_{-2}^{0} (- 0.25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\

Erweitern Sie x (x + 2)(x – 1)(x – 4) und verschieben Sie – 0,25 außerhalb der Integrationsoperation.

= -0.25 \int_{-2}^{0} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0.25 \left _{-2}^0 = 3.4

I_2 = \int_{0}^{1} (- 0.25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\= -0.25 \int_{0}^{1} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0,25 \int_{0}^1 = -0,3625

I_3 =\int_{1}^{4} (- 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\= -0,25 \int_{1}^{4} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0.25 \int_{1}^{4} = 13.1625

Beachten Sie, dass I2 negativ ist, weil zwischen x = 0 und x = 1 , y = – 0.25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4) negativ ist. Daher müssen wir den Absolutwert des bestimmten Integrals von I2 nehmen, um die Fläche des Bereichs von x = 0 bis x = 1 zu finden. Daher ist die Gesamtfläche gegeben durch:

Fläche = I1 + | I2 | + I3 = 3.4 + |-0.3625| + 13.1625 = 16.925 \; \text{unit}^2

Beispiel 5

Finden Sie k, so dass der Flächeninhalt des endlichen Gebietes, das durch die Kurve von y = – x( x – k) und die x-Achse begrenzt wird, gleich 4/3 Einheiten2 ist.

Lösung zu Beispiel 5

.
Der Graph der gegebenen Funktion ist eine Parabel, die sich nach unten öffnet und zwei x-Achsenabschnitte hat: x = 0 und x = k. Der endliche Bereich, der durch die Kurve und die x-Achse begrenzt wird, ist an den x-Achsenabschnitten begrenzt, wie in der folgenden Grafik gezeigt.



Abbildung 6. Endliche Fläche zwischen Parabel und x-Achse in Beispiel 5

Die Fläche zwischen der Kurve und y = 0 ist gegeben durch

\text{Area} = \int_{0}^{k} (- x( x – k)) dx \\\\

Expandieren Sie – x( x – k)

= \int_{-2}^{0} (- x^2 + kx ) dx = \left _{0}^k = -k^3 / 3 + k^3 / 2 = k^3 / 6

Wie zu erwarten, enthält der Ausdruck für den Flächeninhalt den Parameter k, der durch Setzen des Flächeninhalts gleich 4/3 berechnet wird. Daraus folgt

k^3 / 6 = 4 / 3

Lösen Sie die obige Gleichung für k und Sie erhalten

k = 2

Übungen

1) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des endlichen Gebiets, das von y = -(x+1)(x-3) und y = 0
2) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des endlichen Gebietes, das von y = sin(x) begrenzt wird, y = 0 , x = 0 und x = 2π eingeschlossen ist.
3) Finden Sie k positiv, so dass die Fläche unter der Kurve von y = (x + 2), x = 0, x = k und der x-Achse gleich 2 ist

Antworten zu obigen Übungen

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