Tutorial gratuiti di matematica

Area sotto una curva



Figura 1. Approssimazione dell’area sotto una curva mediante la somma delle aree dei rettangoli.

Si può approssimare l’area sotto la curva da x = x1 a x = xn dividendo l’intera area in rettangoli. Per esempio l’area del primo rettangolo (in nero) è data da:

e poi sommiamo le aree di questi rettangoli come segue:
Se Δx nella precedente approssimazione dell’espressione area diventa abbastanza piccola, la somma delle aree dei rettangoli si avvicina al valore esatto dell’area sotto la curva. Quindi definiamo l’area come segue:

{Area esatta} = \lim_{Delta x\to\0} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \Delta x

Il limite di cui sopra esiste, ha la seguente notazione utilizzando il concetto di integrale definito.

{Testo{Area esatta} = \lim_{Delta x\to\0} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \Delta x = \color{red}{int_{x_1}^{x_2} f(x) dx}

Presentiamo ora diversi esempi su come utilizzare gli integrali per trovare l’area sotto una curva. Sono incluse anche le soluzioni dettagliate di questi esempi.

Esempio 1

Trova l’area della regione delimitata da y = 2x, y = 0, x = 0 e x = 2.(vedi figura sotto).



Figura 2. Area sotto una curva esempio 1.

Soluzione dell’esempio 1

Si usano due metodi per trovare l’area.
Metodo 1 Questo problema può essere risolto usando la formula per l’area di un triangolo.
area = (1/2) × base × altezza = (1/2)× 2 × 4 = 4 unità2
Metodo 2
Useremo ora gli integrali definiti per trovare l’area definita sopra. Se lasciamo f(x) = 2x , usando la formula dell’area data dall’integrale definito sopra, noi

\testo{Area} = \int_{0}^{2} (2x) dx = 2 \int_{0}^{2} x dx = _0^2 = 4 \; \text{unit}^2

Il primo metodo è veloce ma funziona perché l’area è quella di un triangolo, tuttavia il secondo metodo funziona per figure diverse dai triangoli.

Esempio 2

Trova l’area della regione delimitata da y = 0.1 x3, y = 0, x = 2 e x = 4.

Soluzione dell’esempio 2

Prima facciamo il grafico della funzione data e identifichiamo la regione di cui dobbiamo trovare l’area.



Figura 3. Area sotto una curva esempio 2 , y = 0,1 x3, x = 2 , x = 4 e y = 0.

Utilizzare gli integrali definiti per trovare l’area come segue:.

{Area} = \int_{2}^{4} (0.1 x^3) dx = 0.1 \int_{2}^{4} x^3 dx = 0.1 \sinistra _2^4 \\\\= 0.1 = 6 \testo{unità}^2

Esempio 3

Trovare l’area della regione finita delimitata dalla curva di y = 3(x – 1)(x – 3) e dall’asse x.

Soluzione dell’esempio 3

Si noti che i limiti di integrazione non sono dati e quindi è necessario uno studio dettagliato del grafico della funzione data. Il grafico della funzione data mostra che ci sono due intercettazioni x che sono facili da trovare poiché la funzione data è in forma fattorizzata: x = 1 e x = 2. La regione finita è delimitata dalla curva di y = 3(x – 1)(x – 3), x = 1, x = 3 e l’asse x come mostrato sotto nel grafico.



Figura 4. Area finita tra la curva esempio 3, le intercette x e l’asse x (y = 0)

Utilizzare gli integrali definiti per trovare l’area come segue:

\int_{1}^{3} (3(x – 1)(x – 3)) dx = 3 \int_{1}^{3} (x^2 – 4x + 3) dx = 3 \left _1^3 \\\\= 3 \left _2^4 = – 4

Nota che l’integrale definito trovato è negativo e questo perché y = 3(x – 1)(x – 3) è negativo tra i limiti di integrazione x = 1 e x = 3. L’area è il valore assoluto di -4 ed è quindi 4 unità2.

Esempio 4

Trova l’area della regione finita delimitata dalla curva di y = – 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4) e l’asse delle x.

Soluzione dell’esempio 4

.
La funzione data è un polinomio di grado 4 con coefficiente iniziale negativo. Grafichiamo la funzione data e la studiamo per individuare la regione finita delimitata dalla curva e dall’asse x. Il grafico della funzione data ha 3 intercette x: x = – 2, 1 e 4. La regione finita è composta da tre regioni. La prima da x = – 2 a x = 0. La seconda regione da x = 0 a x = 1 e la terza da x = 1 a x = 4.



Figura 5. Area finita tra la curva e l’asse x nell’esempio 4

Calcoliamo i seguenti integrali definiti prendendo come limiti le intercette x.

I_1 = \int_{-2}^{0} (- 0.25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\

Espandere x (x + 2)(x – 1)(x – 4) e spostare – 0,25 fuori dall’operazione di integrazione.

= -0.25 \int_{-2}^{0} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0,25 \left _{-2}^0 = 3,4

I_2 = \int_{0}^{1} (- 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\= -0,25 \int_{0}^{1} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0,25 \int_{0}^1 = -0,3625

I_3 =\int_{1}^{4} (- 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\= -0,25 \int_{1}^{4} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0,25 \sinistra _{1}^4 = 13,1625

Nota che I2 è negativo perché tra x = 0 e x = 1 , y = – 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4) è negativo. Quindi dobbiamo prendere il valore assoluto dell’integrale definito di I2 per trovare l’area della regione da x = 0 a x = 1. Quindi l’area totale è data da:

Area = I1 + | I2 | + I3 = 3.4 + |-0.3625| + 13.1625 = 16.925 \; \text{unit}^2

Esempio 5

Trovare k in modo che l’area della regione finita delimitata dalla curva di y = – x( x – k) e l’asse x sia uguale a 4/3 unità2.

Soluzione dell’esempio 5

.
Il grafico della funzione data è una parabola che si apre verso il basso e ha due intercette x: x = 0 e x = k. La regione finita delimitata dalla curva e dall’asse x è limitata alle intercette x come mostrato nel grafico sottostante.



Figura 6. Area finita tra la parabola e l’asse x nell’esempio 5

L’area tra la curva e y = 0 è data da

{Area} = \int_{0}^{k} (- x( x – k)) dx \\\\

Espandi – x( x – k)

= \int_{-2}^{0} (- x^2 + kx ) dx = \left _{0}^k = -k^3 / 3 + k^3 / 2 = k^3 / 6

Come previsto, l’espressione dell’area include il parametro k che viene calcolato ponendo l’area uguale a 4/3. Quindi

k^3 / 6 = 4 / 3

Risolvere l’equazione precedente per k per ottenere

k = 2

Esercizi

1) Trova l’area della regione finita racchiusa da y = -(x+1)(x-3) e y = 0
2) Trova l’area della regione finita delimitata da y = sin(x), y = 0 , x = 0 e x = 2π sotto.
3) Trovare k positivo in modo che l’area sotto la curva di y = (x + 2), x = 0, x = k e l’asse x sia uguale a 2

Risposte agli esercizi precedenti

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *