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Área bajo una curva



Figura 1. Aproximación del área bajo una curva por la suma de las áreas de los rectángulos.

Podemos aproximar el área bajo la curva desde x = x1 hasta x = xn dividiendo toda el área en rectángulos. Por ejemplo el área primer rectángulo (en negro) viene dada por:

y luego sumar las áreas de estos rectángulos de la siguiente manera:
Si Δx en la anterior aproximación de la expresión del área se hace lo suficientemente pequeña, la suma de las áreas de los rectángulos se aproximará al valor exacto del área bajo la curva. Por lo tanto, definimos el área de la siguiente manera:

{text{Área exacta} = \lim_{Delta x\to\0} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \Delta x

El límite anterior existe, tiene la siguiente notación utilizando el concepto de integrales definidas.

{texto{Área Exacta} = \lim_{Delta x\to\0} \\N-Suma_{i=1}^{n-1} f(x_i) \N-Delta x = \color{rojo}{{int_{x_1}^{x_2} f(x) dx}

A continuación presentamos varios ejemplos sobre cómo utilizar las integrales para encontrar el área bajo una curva. También se incluyen las soluciones detalladas de estos ejemplos.

Ejemplo 1

Encuentra el área de la región limitada por y = 2x, y = 0, x = 0 y x = 2.(ver figura siguiente).



Figura 2. Área bajo una curva ejemplo 1.

Solución al ejemplo 1

Se utilizan dos métodos para encontrar el área.
Método 1 Este problema se puede resolver utilizando la fórmula del área de un triángulo.
Área = (1/2) × base × altura = (1/2)× 2 × 4 = 4 unidad2
Método 2
Ahora utilizaremos integrales definidas para encontrar el área definida anteriormente. Si dejamos que f(x) = 2x , utilizando la fórmula del área dada por la integral definida anterior, tenemos

\text{Area} = \int_{0}^{2} (2x) (2x) dx = 2 \int_{0}^{2} x dx = _0^2 = 4 \; \text{unit}^2

El primer método es rápido pero funciona porque el área es la de un triángulo, sin embargo el segundo método funciona para figuras que no sean triángulos.

Ejemplo 2

Halla el área de la región limitada por y = 0.1 x3, y = 0, x = 2 y x = 4.

Solución del ejemplo 2

Primero graficamos la función dada e identificamos la región cuya área se quiere hallar.



Figura 3. Área bajo una curva ejemplo 2 , y = 0,1 x3, x = 2 , x = 4 e y = 0.

Utiliza las integrales definidas para hallar el área de la siguiente manera:.

{text_Area} = \int_{2}^{4} (0,1 x^3) dx = 0,1 \int_{2}^{4} x^3 dx = 0,1 \left _2^4 \\\\= 0,1 = 6 \text{unit}^2

Ejemplo 3

Hallar el área de la región finita limitada por la curva de y = 3(x – 1)(x – 3) y el eje x.

Solución del ejemplo 3

Observe que los límites de integración no están dados y por lo tanto es necesario un estudio detallado de la gráfica de la función dada. La gráfica de la función dada muestra que hay dos intercepciones de x que son fáciles de encontrar ya que la función dada está en forma factorizada: x = 1 y x = 2. La región finita está delimitada por la curva de y = 3(x – 1)(x – 3), x = 1, x = 3 y el eje x como se muestra a continuación en la gráfica.



Figura 4. Área finita entre la curva ejemplo 3, los interceptos x y el eje x (y = 0)

Utiliza las integrales definidas para encontrar el área de la siguiente manera:

int_{1}^{3} (3(x – 1)(x – 3)) dx = 3 \int_{1}^{3} (x^2 – 4x + 3) dx = 3 \left _1^3 \\\\= 3 \left _2^4 = – 4

Nota que la integral definida hallada es negativa y eso es porque y = 3(x – 1)(x – 3) es negativa entre los límites de integración x = 1 y x = 3. El área es el valor absoluto de -4 y, por tanto, es 4 unidad2.

Ejemplo 4

Hallar el área de la región finita limitada por la curva de y = – 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4) y el eje x.

Solución del ejemplo 4

.
La función dada es un polinomio de grado 4 con coeficiente principal negativo. Graficamos la función dada y la estudiamos para identificar la región finita limitada por la curva y el eje x. La gráfica de la función dada tiene 3 intersecciones x: x = – 2, 1 y 4. La región finita está compuesta por tres regiones. La primera desde x = – 2 hasta x = 0. La segunda región desde x = 0 hasta x = 1 y la tercera desde x = 1 hasta x = 4.



Figura 5. Área finita entre la curva y el eje x del ejemplo 4

Calculemos las siguientes integrales definidas tomando como límites los interceptos de x.

I_1 = \int_{-2}^{0} (- 0.25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\

Expandir x (x + 2)(x – 1)(x – 4) y desplazar – 0,25 fuera de la operación de integración.

= -0.25 \int_{-2}^{0} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0,25 \left _{-2}^0 = 3,4

I_2 = \int_{0}^{1} (- 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\= -0,25 \int_{0}^{1} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0.25 \left _{0}^1 = -0.3625

I_3 =\int_{1}^{4} (- 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4)) dx \\\\= -0,25 \int_{1}^{4} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\= – 0,25 \Nde la izquierda _{1}^4 = 13,1625

Nota que I2 es negativo porque entre x = 0 y x = 1 , y = – 0,25 x (x + 2)(x – 1)(x – 4) es negativo. Por lo tanto, tenemos que tomar el valor absoluto de la integral definida de I2 con el fin de encontrar el área de la región de x = 0 a x = 1. Por lo tanto, el área total está dada por:

Área = I1 + | I2 | + I3 = 3.4 + |-0,3625| + 13,1625 = 16,925 \️; \text{unit}^2

Ejemplo 5

Encuentra k para que el área de la región finita limitada por la curva de y = – x( x – k) y el eje x sea igual a 4/3 unidades2.

Solución del ejemplo 5

.
La gráfica de la función dada es una parábola que se abre hacia abajo y tiene dos interceptos en x: x = 0 y x = k. La región finita delimitada por la curva y el eje x está limitada en los interceptos x como se muestra en la gráfica siguiente.



Figura 6. Área finita entre la parábola y el eje x en el ejemplo 5

El área entre la curva y y = 0 viene dada por

{Area} = \int_{0}^{k} (- x( x – k)) dx \\\\

Expandir – x( x – k)

= \int_{-2}^{0} (- x^2 + kx ) dx = \left _{0}^k = -k^3 / 3 + k^3 / 2 = k^3 / 6

Como era de esperar, la expresión del área incluye el parámetro k que se calcula fijando el área igual a 4/3. Por tanto

k^3 / 6 = 4 / 3

Resuelve la ecuación anterior para k y obtén

k = 2

Ejercicios

1) Halla el área de la región finita encerrada por y = -(x+1)(x-3) y y = 0
2) Halla el área de la región finita delimitada b y = sen(x), y = 0 , x = 0 y x = 2π abajo.
3) Halla k positivo para que el área bajo la curva de y = (x + 2), x = 0, x = k y el eje x sea igual a 2

Respuestas a los ejercicios anteriores

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