Calcular la longitud del papel en un rollo de papel higiénico

La suposición de que las capas son todas cilíndricas es una buena primera aproximación.

La suposición de que las capas forman una espiral logarítmica no es una buena suposición en absoluto, porque supone que el grosor del papel en cualquier punto es proporcional a su distancia al centro. Esto me parece bastante absurdo.

Una suposición alternativa es que las capas forman una espiral de Arquímedes.Esto es un poco más realista, ya que dice que el papel tiene un grosor uniforme de principio a fin. Pero esta suposición no es mucho más realista que la de que todas las capas son cilíndricas; de hecho, en algunos aspectos es menos realista.

Aquí se muestra cómo una hoja de grosor $h$ envuelve realmente un cilindro.Primero, pegamos un lado de la hoja (cerca del extremo de la hoja) a la superficie del cilindro. A continuación, empezamos a girar el cilindro.A medida que el cilindro gira, tira de la lámina extendida alrededor de sí mismo.Cerca del final de la primera rotación completa del cilindro, la envoltura tiene este aspecto:

introducir descripción de la imagen aquí

Nota que la lámina se encuentra directamente sobre la superficie del cilindro, es decir, esta parte de la lámina envuelta es cilíndrica.

Con un cierto ángulo de giro, el extremo pegado de la chapa choca con la parte de la chapa que se está envolviendo. El punto en el que la chapa es tangente al cilindro en ese momento es el último punto de contacto con el cilindro; la chapa va en línea recta desde ese punto hasta el punto de contacto con el extremo encolado, y luego procede a envolver en forma cilíndrica la primera capa de la chapa envuelta, así:

introduce la descripción de la imagen aquí

A medida que continuamos girando el cilindro, éste va tomando más y más capas de la hoja, cada una de las cuales consiste en una sección cilíndrica que recorre la mayor parte del rollo, seguida de una sección plana que une esta capa con la siguiente. Terminamos con algo así:

introducir descripción de la imagen aquí

Nota que he cortado la lámina justo en el punto en el que estaba a punto de entrar en otra sección recta. Afirmo (sin pruebas) que esto produce un máximo local en la relación entre la longitud de la hoja envuelta y el mayor grosor del papel alrededor del cilindro interior.El siguiente máximo local (afirmo) se producirá en el punto correspondiente de la siguiente envoltura de la hoja.

La cuestión ahora es cuál es el grosor de cada capa.La superficie interior de la porción cilíndrica de cada capa de la hoja envuelta tiene menos área que la superficie exterior, pero la porción de la hoja original (sin envolver) que se enrolló en el rollo para hacer esta capa tenía igual área en ambos lados. Por lo tanto, o bien la superficie interior se comprimió de alguna manera, o la superficie exterior se estiró, o ambas cosas.

Creo que la suposición más realista es que se produjo tanto la compresión como el estiramiento. En realidad, supongo que la superficie interior se comprime más de lo que se estira la superficie exterior, pero no sé cuál sería la proporción más probable entre compresión y estiramiento.Es más sencillo suponer que los dos efectos son iguales.La longitud de la hoja utilizada para hacer cualquier parte de una capa del rollo es, por tanto, igual a la longitud de la superficie a medio camino entre las superficies interior y exterior de esa capa.Por ejemplo, para envolver la primera capa a mitad de camino alrededor del cilindro central de radio $r$, utilizamos una longitud $\pi\left(r + \frac h2\right)$de la hoja de papel.

La razón por la que esto simplifica especialmente nuestros cálculos es que la longitud de papel utilizada en cualquier parte del rollo es simplemente el área de la sección transversal de esa parte del rollo dividida por el grosor del papel.

El rollo entero tiene un radio interior $r$ y un radio exterior $R = r + nh$, donde $n$ es el número máximo de capas en cualquier punto alrededor del cilindro central. (En la figura, $n = 5$.)Las líneas azules son los lados de un triángulo rectángulo cuyos vértices son el centro del cilindro interior y los puntos en los que la primera capa toca por última vez el cilindro interior y por primera vez su propio extremo.Este triángulo tiene la hipotenusa $r + h$ y un cateto es $r$, por lo que el otro cateto (que es la longitud de la porción recta de la lámina) es $ \sqrt{(r + h)^2 – r^2} = \sqrt{(2r + h)h}.Cada porción recta de cada capa se conecta a la siguiente capa de papel envolviendo el punto de contacto con el extremo encolado de la hoja (la primera vez) o alrededor de la forma hecha al envolver la capa anterior alrededor de esta parte de la capa de abajo; esto forma un segmento de un cilindro entre las líneas rojas con centro en el punto de contacto con el extremo encolado.El ángulo entre las líneas rojas es el mismo que el ángulo del triángulo azul en el centro del cilindro, es decir$ \alpha = \arccos \frac{r}{r+h}.$

Ahora vamos a sumar todas las partes del rollo. Tenemos un cilindro hueco casi completo con radio interior $r$ y radio exterior $R$, al que sólo le falta un segmento de ángulo $\alpha$. Tenemos un prisma rectangular cuya sección transversal es el producto de dos de sus lados, $ A_2 = (R – r – h) \sqrt{(2r + h)h}.Finalmente, tenemos un segmento de cilindro de radio $R – r – h$ (entre las líneas rojas) cuya sección es$ A_3 = \frac{alfa}{2} (R – r – h)^2.$ Sumando esto y dividiendo por $h$, la longitud total de la lámina resulta de L &= \frac1h (A_1+A_2+A_3)\\frac1h (R^2 – r^2) + \frac1h (R – r – h) \sqrt{(2r + h)h} + \frac{alfa}{2h} (R – r – h)^2.\pend{align}

Para $n$ capas en un rollo, utilizando la fórmula $R = r + nh$, tenemos $R – r = nh$, $R + r = 2r + nh$, $R^2 – r^2 = (R+r)(R-r) = (2r + nh)nh$, y $R – r – h = (n – 1)h$.La longitud entonces es\begin{align} L &= \left(\pi – \frac{alpha}{2} \right) (2r + nh)n + (n – 1) \sqrt{(2r + h)h} + \frac{alfa h}{2} (n – 1)^2\\N &= 2n\pi r + n^2\pi h + (n-1) \sqrt{(2r + h)h} – \left( n(r + h) – \frac h2 \ right) \arccos \frac{r}{r+h}\ &= n (R + r) \pi + (n-1) \sqrt{(2r + h)h} – \left( n(r + h) – \frac h2 \right) \arccos \frac{r+h}.\end{align}

Una diferencia notable entre esta estimación y algunas otras(incluyendo la original) es que asumo que puede haber como máximo$(R-r)/h$ capas de papel sobre cualquier parte del cilindro central,no $1 + (R-r)/h$ capas.La longitud total es el número de capas por $2\pi$ por el radio medio, $(R + r)/2$, ajustado por la cantidad que falta en esta sección del rollo que sólo tiene $n – 1$ hojas de espesor.

Las cosas no son mucho peores si suponemos una relación diferente pero uniforme entre la compresión interior y el estiramiento exterior, siempre que mantengamos el mismo grosor de papel independientemente de la curvatura; sólo tenemos que hacer un ajuste de los radios interior y exterior de cualquier segmento cilíndrico del rollo, que creo que dejaré como «un ejercicio para el lector».»Pero esto implica un cambio en el volumen de la hoja de papel.Si también mantenemos el volumen constante, nos encontramos con que la hoja se hace más gruesa o más fina dependiendo de la relación entre el estiramiento y la compresión y la curvatura de la hoja.Con un volumen constante, la longitud del papel en la parte principal del rollo (en todas partes donde obtenemos el número completo de capas) es la misma que en la estimación anterior, pero la longitud total de las partes de la hoja que conectan una capa con la siguiente podría cambiar ligeramente.

Actualización: Por petición, aquí están los resultados de aplicar la fórmula anterior a los valores de entrada dados como ejemplo en la pregunta:$h=0,1$, $R=75$, y $r=25$ (deducido de $R-r=b=50$), todos medidos en milímetros.

Dado que $n = (R-r)/h$, tenemos $n = 500$.Para una primera aproximación a la longitud total del papel, consideremos sólo el primer término de la fórmula. Esto nos da $L_1 = n (R + r) \pi = 500 \cdot 100 \pi \aprox 157079,63267949,$o unos $157$ metros, lo mismo que en el ejemplo de la pregunta.Los dos términos restantes dan como resultado L – L_1 &= (n-1)\ctrit{(2r + h)h} – \left( n(r + h) – \frac h2 \right) \arccos\frac{r}{r+h} &= 499\cqrt{50.1 \cdot 0.1} – (500(25.1) – 0.05)\N-arccos\Nfrac{25}{25.1} \\sta es una corrección muy pequeña, menos de 2,4 veces 10^{5}$. L_1$.En la realidad (a diferencia de mi modelo idealizado de papel higiénico de grosor constante y volumen constante), esta «corrección» es seguramente insignificante comparada con las incertidumbres de estimar el grosor medio del papel en cada capa de un rollo (por no hablar de cualquier falta de uniformidad en la forma en que lo enrolla la maquinaria de fabricación).

También podemos comparar $\lvert L – L_1 \rvert$ con la cantidad de papel que faltaría si el papel del segmento «plano» del rollo fuera en cambio $n – 1$ capas que siguieran la curva del resto del papel.El ángulo $\alpha$ es de unos $0.089294$ radianes (unos 5,1162$ grados), por lo que si la capa que falta fuera la más interna, su longitud sería de $25,05 \alfa \a aproximadamente 2,24$, y si fuera la más externa sería de $74,95 \a aproximadamente 6,69$ (en milímetros).

Sólo por diversión, también he intentado expandir $L – L_1$ como una serie de potencias alrededor de $h = 0$ (con un poco de ayuda de Wolfram Alpha).(Para hacer de $L – L_1$ una función de una variable $h$ con constantes $R$ y $r$, haz la sustitución $n = (R – r)/h$.)Esto resulta ser una serie de potencias de $\sqrt h$ cuyo término principal es$-\frac{(R + 2r)\sqrt2}{3\sqrt r} \Introduciendo los valores del ejemplo, esto equivale aproximadamente a $-3,7267799625$.Si realmente queremos la longitud del rollo de papel higiénico idealizado al milímetro, pero podemos tolerar un error de unos pocos $\mu\mathrm m$(para las dimensiones típicas de un rollo de papel higiénico), una aproximación adecuada sería$L \approx \frac{\pi (R^2 – r^2)}{h} – \frac{(R + 2r)\sqrt2}{3\sqrt r} \frac h.$

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *