Berechnen der Länge des Papiers auf einer Toilettenpapierrolle

Die Annahme, dass die Schichten alle zylindrisch sind, ist eine gute erste Näherung.

Die Annahme, dass die Lagen eine logarithmische Spirale bilden, ist überhaupt keine gute Annahme, weil sie voraussetzt, dass die Dicke des Papiers an jedem Punkt proportional zu seinem Abstand vom Zentrum ist. Das erscheint mir ziemlich absurd.

Eine alternative Annahme ist, dass die Schichten eine archimedische Spirale bilden.

Diese Annahme ist etwas realistischer, da sie besagt, dass das Papier von Anfang bis Ende eine einheitliche Dicke hat. Aber diese Annahme ist nicht viel realistischer als die Annahme, dass alle Schichten zylindrisch sind; tatsächlich ist sie in mancher Hinsicht weniger realistisch.

Hier ist, wie ein Blatt der Dicke $h$ tatsächlich um einen Zylinder gewickelt wird.

Zunächst kleben wir eine Seite des Blattes (nahe dem Ende des Blattes) an die Oberfläche des Zylinders. Am Ende der ersten vollen Umdrehung des Zylinders sieht die Umwicklung so aus:

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Beachten Sie, dass das Blech direkt auf der Oberfläche des Zylinders liegt, d.h. dieser Teil des umwickelten Blechs ist zylindrisch.

Bei einem bestimmten Drehwinkel trifft das geklebte Ende des Blechs auf den Teil des Blechs, der umwickelt wird. Der Punkt, an dem das Blech zu diesem Zeitpunkt den Zylinder tangiert, ist der letzte Berührungspunkt mit dem Zylinder; das Blech läuft von diesem Punkt aus gerade zum Berührungspunkt mit dem geklebten Ende und wickelt sich dann zylindrisch um die erste Lage des umwickelten Blechs, etwa so:

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Wenn wir den Zylinder weiter drehen, nimmt er mehr und mehr Lagen des Blechs auf, wobei jede Lage aus einem zylindrischen Abschnitt besteht, der den größten Teil des Weges um die Rolle geht, gefolgt von einem flachen Abschnitt, der diese Lage mit der nächsten Lage verbindet. Das Ergebnis sieht so aus:

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Beachten Sie, dass ich das Blech genau an dem Punkt abgeschnitten habe, an dem es in einen weiteren geraden Abschnitt übergehen sollte. Ich behaupte (ohne Beweis), dass dies ein lokales Maximum im Verhältnis zwischen der Länge des umwickelten Blattes und der größten Dicke des Papiers um den inneren Zylinder herum erzeugt.

Das nächste lokale Maximum (behaupte ich) wird an der entsprechenden Stelle der nächsten Umwicklung des Blattes auftreten.

Die Frage ist nun, wie dick jede Schicht ist.

Die innere Oberfläche des zylindrischen Teils jeder Schicht des eingewickelten Blattes hat eine kleinere Fläche als die äußere Oberfläche, aber der Teil des ursprünglichen (nicht eingewickelten) Blattes, der auf die Rolle gewickelt wurde, um diese Schicht zu bilden, hatte auf beiden Seiten die gleiche Fläche. Also wurde entweder die innere Oberfläche irgendwie komprimiert, oder die äußere Oberfläche wurde gedehnt, oder beides.

Ich denke, die realistischste Annahme ist, dass sowohl Kompression als auch Dehnung stattgefunden haben. In der Realität würde ich vermuten, dass die innere Oberfläche mehr komprimiert als die äußere Oberfläche gedehnt wird, aber ich weiß nicht, wie das wahrscheinlichste Verhältnis von Kompression zu Dehnung aussehen würde.

Es ist einfacher anzunehmen, dass die beiden Effekte gleich sind.

Die Länge der Folie, die verwendet wird, um einen Teil einer Schicht der Rolle herzustellen, ist daher gleich der Länge der Fläche in der Mitte zwischen der inneren und äußeren Oberfläche dieser Schicht.Um beispielsweise die erste Lage halb um den zentralen Zylinder mit dem Radius $r$ zu wickeln, verwenden wir eine Länge $\pi\left(r + \frac h2\right)$ des Papierbogens.

Dies vereinfacht unsere Berechnungen besonders, da die Länge des Papiers, die in einem beliebigen Teil der Rolle verwendet wird, einfach die Fläche des Querschnitts dieses Teils der Rolle geteilt durch die Dicke des Papiers ist.

Die gesamte Rolle hat den Innenradius $r$ und den Außenradius $R = r + nh$,wobei $n$ die maximale Anzahl der Lagen an einem beliebigen Punkt um den Zentralzylinder ist. (In der Abbildung ist $n = 5$.)Die blauen Linien sind die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Scheitelpunkte der Mittelpunkt des inneren Zylinders und die Punkte sind, an denen die erste Lage den inneren Zylinder zuletzt und ihr eigenes Ende zuerst berührt.Dieses Dreieck hat die Hypotenuse $r + h$ und ein Schenkel ist $r$, so dass der andere Schenkel (der die Länge des geraden Abschnitts der Platte ist) $ \sqrt{(r + h)^2 – r^2} = \sqrt{(2r + h)h} ist.$Jeder gerade Abschnitt jeder Lage wird mit der nächsten Lage Papier verbunden, indem er entweder um den Berührungspunkt mit dem geklebten Ende des Blattes (das erste Mal) oder um die Form gewickelt wird, die durch das Wickeln der vorherigen Lage um diesen Teil der darunter liegenden Lage entstanden ist; dies bildet ein Segment eines Zylinders zwischen den roten Linien mit Mittelpunkt am Berührungspunkt mit dem geklebten Ende.Der Winkel zwischen den roten Linien ist derselbe wie der Winkel des blauen Dreiecks im Zentrum des Zylinders, nämlich$ \alpha = \arccos \frac{r}{r+h}.$

Nun addieren wir alle Teile der Rolle. Wir haben einen fast vollständigen Hohlzylinder mit Innenradius $r$ und Außenradius $R$, dem nur ein Segment des Winkels $\alpha$ fehlt. Dessen Querschnittsfläche ist$ A_1 = \left(\pi – \frac{\alpha}{2} \right) (R^2 – r^2).$Wir haben ein rechteckiges Prisma, dessen Querschnittsfläche das Produkt aus zwei seiner Seiten ist,$ A_2 = (R – r – h) \sqrt{(2r + h)h}.$Schließlich haben wir ein Segment eines Zylinders mit dem Radius $R – r – h$ (zwischen den roten Linien), dessen Querschnittsfläche$ A_3 = \frac{\alpha}{2} (R – r – h)^2.$Addiert man dies und dividiert durch $h$, so ergibt sich die Gesamtlänge der Platte zu\begin{align} L &= \frac1h (A_1+A_2+A_3)\\&= \frac1h \links(\pi – \frac{\alpha}{2} \rechts) (R^2 – r^2) + \frac1h (R – r – h) \sqrt{(2r + h)h} + \frac{\alpha}{2h} (R – r – h)^2.\end{align}

Für $n$ Schichten auf einer Rolle haben wir mit der Formel $R = r + nh$, $R – r = nh$, $R + r = 2r + nh$,$R^2 – r^2 = (R+r)(R-r) = (2r + nh)nh$,und $R – r – h = (n – 1)h$.Die Länge ist dann\begin{align} L &= \left(\pi – \frac{\alpha}{2} \right) (2r + nh)n + (n – 1) \sqrt{(2r + h)h} + \frac{\alpha h}{2} (n – 1)^2\\ &= 2n\pi r + n^2\pi h + (n-1) \sqrt{(2r + h)h} – \left( n(r + h) – \frac h2 \right) \arccos \frac{r}{r+h}\\ &= n (R + r) \pi + (n-1) \sqrt{(2r + h)h} – \left( n(r + h) – \frac h2 \right) \arccos \frac{r}{r+h}.\end{align}

Ein bemerkenswerter Unterschied zwischen dieser Abschätzung und einigen anderen (einschließlich des Originals) besteht darin, dass ich davon ausgehe, dass es höchstens $(R-r)/h$ Schichten von Papier über jedem Teil des zentralen Zylinders geben kann, nicht $1 + (R-r)/h$ Schichten.Die Gesamtlänge ist die Anzahl der Lagen mal $2\pi$ mal dem durchschnittlichen Radius, $(R + r)/2$, bereinigt um die Menge, die in dem Teil der Rolle fehlt, der nur $n – 1$ Blätter dick ist.

Die Sache ist nicht viel schlimmer, wenn wir ein anderes, aber gleichmäßiges Verhältnis von innerer Stauchung zu äußerer Streckung annehmen, vorausgesetzt, wir behalten unabhängig von der Krümmung die gleiche Papierdicke bei; wir müssen nur eine Anpassung an die inneren und äußeren Radien jedes zylindrischen Segments der Rolle vornehmen, was ich als „eine Übung für den Leser“ belasse.“Wenn wir auch das Volumen konstant halten, stellen wir fest, dass das Blatt dicker oder dünner wird, je nach dem Verhältnis von Dehnung zu Kompression und der Krümmung des Blattes.

Bei konstantem Volumen ist die Länge des Papiers im Hauptteil der Rolle (überall dort, wo wir die volle Anzahl von Lagen erhalten) die gleiche wie in der obigen Abschätzung, aber die Gesamtlänge der Teile des Blattes, die eine Lage mit der nächsten verbinden, kann sich leicht ändern.

Update: Auf Wunsch sind hier die Ergebnisse der Anwendung der obigen Formel auf die in der Frage als Beispiel angegebenen Eingabewerte:$h=0,1$, $R=75$ und $r=25$ (abgeleitet aus $R-r=b=50$), alle gemessen in Millimetern.

Da $n = (R-r)/h$ ist, haben wir $n = 500$.Für eine erste Annäherung an die Gesamtlänge des Papiers betrachten wir nur den ersten Term der Formel. Damit erhalten wir $L_1 = n (R + r) \pi = 500 \cdot 100 \pi \ca. 157079.63267949,$oder etwa $157$ Meter, genau wie im Beispiel in der Frage.Die beiden verbleibenden Terme ergeben: L – L_1 &= (n-1)\sqrt{(2r + h)h} – \left( n(r + h) – \frac h2 \right) \arccos\frac{r}{r+h} \\&= 499\sqrt{50.1 \cdot 0.1} – (500(25.1) – 0.05)\arccos\frac{25}{25.1} \\&\approx -3.72246774.\end{align}Dies ist eine sehr kleine Korrektur, weniger als $2.4\times 10^{-5} L_1$.In der Realität (im Gegensatz zu meinem idealisierten Modell des Toilettenpapiers mit konstanter Dicke und konstantem Volumen) ist diese „Korrektur“ sicherlich unbedeutend im Vergleich zu den Unsicherheiten bei der Schätzung der durchschnittlichen Dicke des Papiers in jeder Lage einer Rolle (ganz zu schweigen von den Ungleichmäßigkeiten beim Aufrollen durch die Fertigungsmaschinen).

Wir können auch $\lvert L – L_1 \rvert$ mit der Menge an Papier vergleichen, die fehlen würde, wenn das Papier im „flachen“ Segment der Rolle stattdessen $n – 1$ Lagen hätte, die der Kurve des restlichen Papiers folgen.Der Winkel $\alpha$ beträgt etwa $0.Der Winkel $\alpha$ beträgt etwa $0,089294$ Radiant (etwa $5,1162$ Grad), so dass, wenn die fehlende Lage die innerste Lage wäre, ihre Länge $25,05 \alpha \ca. 2,24$ betragen würde, und wenn sie die äußerste Lage wäre, würde sie $74,95 \alpha \ca. 6,69$ betragen (in Millimetern).

Zur Belustigung habe ich auch versucht, $L – L_1$ als Potenzreihe um $h = 0$ zu erweitern (mit ein wenig Hilfe von Wolfram Alpha).(Um $L – L_1$ zu einer Funktion einer Variablen $h$ mit den Konstanten $R$ und $r$ zu machen, nehmen Sie die Substitution $n = (R – r)/h$ vor.)Es stellt sich heraus, dass es sich um eine Potenzreihe von $\sqrt h$ handelt, deren führender Term $-\frac{(R + 2r)\sqrt2}{3\sqrt r} \sqrt h.$Wenn man die Werte aus dem Beispiel einsetzt, ergibt dies etwa $-3.7267799625$.Wenn Sie die Länge der idealisierten Toilettenpapierrolle wirklich auf den nächsten Millimeter genau haben wollen, aber einen Fehler von einigen $\mu\mathrm m$ (für typische Abmessungen einer Toilettenpapierrolle) tolerieren können, wäre eine geeignete Näherung $L \approx \frac{\pi (R^2 – r^2)}{h} – \frac{(R + 2r)\sqrt2}{3\sqrt r} \sqrt h.$

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